Afinal, como ele voltaria para casa sem uma moeda?
Quem sabe você já esteja discordando do título desse post, afinal, se ainda tem moeda, ainda dá para tomar mais um pouquinho. Mas depois eu volto no assunto do bêbado, vamos focar na moeda. Imagino que você já tenha jogado uma moeda para cima alguma vez. O resultado da moeda é bastante interessante devido a sua imprevisibilidade. Você sabe que o resultado ou será cara ou será coroa, mas exatamente qual será o resultado, você não sabe. E essa característica é fantástica. Quando você está acompanhando qualquer gráfico de dados reais, você não tem como saber qual o valor exato do próximo dado, apesar de ter alguma noção sobre qual será esse valor.
Nesse momento, alguém já até deve ter lembrado que a moeda tem 50% de chance de cair cara ou coroa, enquanto um dado não viciado de seis lados tem aproximadamente 16,67% de chance de cair em cada um de seus lados. Essas chances, ou probabilidades, são informações bastante importantes sobre esses dois objetos. Suponha que no último fim de semana, tenha sido televisionado o grande clássico do futebol "Arsenal contra Matonense", e um analista calculou que existia a chance de 74% de que o Arsenal ganhasse o jogo. Contudo, o jogo encerrou em 2 a 0 para a Matonense, perante os urros de alegria de uma torcida ensandecida. Então o analista errou? Não! Claro que ele pode ter cometido algum erro de cálculo, mas as probabilidades não funcionam assim.
No caso da moeda, apesar de não sabermos qual o resultado de uma jogada, a probabilidade de 50% indica que podemos esperar que, após várias jogadas, metade delas tenha resultado em cara e a outra metade em coroa. No caso do jogo de futebol, a probabilidade de 74% indica que, caso o jogo se repetisse 100 vezes, e em todas as vezes sob as mesmas condições, o Arsenal teria ganhado por volta de 74 jogos, apesar de infelizmente (para o Arsenal) ficar repetindo os jogos dessa forma não é possível.
O estudo de probabilidades é essencial para a descrição de inúmeros fenômenos e processos. Esse estudo começou com Gerolamo Cardano no século XVI para lidar com jogos de azar e depois disso foi sendo refinado por diversos matemáticos importantíssimos, como Pascal,Laplace e Kolmogorov, que lançou as bases da teoria moderna de probabilidade.[1]
Toda vez que algum modelo matemático descreve com exatidão o que irá ocorrer a cada passo de tempo, ele é chamado de "Determinístico", mas quando os modelos descrevem processos cujo resultado a cada passo de tempo é probabilístico, o modelo é dito "Estocástico." Os modelos probabilísticos são importantíssimos para lidarmos com sistemas que possuem tantas interações que não conseguimos descrever cada uma delas com maestria e, na verdade, às vezes é desnecessário e impossível fazer isso. Imagine uma caixa com um gás dentro dela e queremos descrever o comportamento desse gás. Podemos escrever as equações de movimento para cada uma das moléculas desse gás. Considerando que existam 10 elevado a 23 moléculas nessa caixa (ou seja, o número 1 seguido de 23 zeros), o que é algo bastante razoável, e que demoremos 1 milésimo de segundo para resolver cada uma dessas equações, seriam necessários mais de 3 trilhões de anos para terminar essa conta! Para esse tipo de problema, o tratamento probabilístico é imprescindível, e esse é o foco da área da física chamada Mecânica Estatística.
Mas existem outros tipos de problema para os quais a teoria de probabilidades é inata. O estudo dos preços dos ativos financeiros é um ótimo exemplo. Ao olhar para o gráfico do preço de uma ação na bolsa de valores, a curva apresentada é extremamente errática. Não é possível saber qual será o preço no próximo instante de tempo, ele é imprevisível, mas isso não impede de o analistas aprenderem alguma coisa com o gráfico. Não é porque o resultado do lançamento de uma moeda é imprevisível que não podemos aprender nada. De fato, nós sabemos quais as chances de o lançamento resultar em um lado ou no outro. Com as ações é a mesma coisa: os economistas tentam calcular as chances de o preço subir ou cair.
Em 1900, o matemático francês Louis Bachelier propôs um modelo para as flutuações nos preços de ativos financeiros, o qual hoje conhecemos como "Movimento Browniano".[2] Descrito pelo botânico Robert Brown no século XIX, o movimento Browniano[3] era o movimento aleatório de grãos de pólen em água. Nessa época, a teoria atômica ainda não era bem aceita, de modo que aceitar que pudessem existir pequenos seres vivos empurrando os grãos não era algo muito maluco. Mas independentemente da causa desse movimento, o fato de ele ser aleatório já é muito intrigante, pois é a mesma aleatoriedade que podemos ver nos gráficos das ações na bolsa de valores. Esses dois processos, o caminhar dos grãos de pólen e a subida e descida dos preços das ações, são exemplos de o que hoje chamamos de Passeios Aleatórios.[4]
O passeio aleatório mais simples pode ser descrito da seguinte forma: depois de uma noite de bebedeira, um bêbado resolve voltar para casa, mas por causa dos efeitos da cerveja (que vão muito além da terrível vontade de fazer xixi) ele se esqueceu de onde mora. Então ele puxa uma moeda do bolso e a joga para cima. Se resultar em cara, ele dá um passo para a direita; se resultar em coroa, ele dá um passo para a esquerda. Qual a chance de que após um certo número de jogadas, ele tenha atingido um poste que está há 50 passos de distância? Essa é uma pergunta que pode ser feita nesse contexto e que junto desse problema pode ser reinterpretada em diversas situações. O bêbado usa uma moeda para andar, mas poderia utilizar um dado viciado: sempre que o resultado fosse par, ele andaria para a direita, e sempre que fosse ímpar, para a esquerda, mas como o dado é viciado, andar para um lado específico pode ser mais ou menos provável. Isso é o que acontece com o preço das ações, elas podem subir ou descer com maior ou menor probabilidade e você pode se perguntar qual a chance de, após um certo tempo, o preço ter atingido um dado valor.
A matemática por trás dos processos estocásticos, junto de modelos simples, como o passeio aleatório de um bêbado, é capaz de descrever vários e vários problemas em inúmeras áreas, indo desde a economia,[5] passando pela ecologia,[6] pela física[7] e pela química[8] e chegando até mesmo nos comportamentos sociais.[9] Um exemplo interessante é utilizar modelos de passeios aleatórios para descrever o movimento de pessoas durante a evacuação de um prédio.[10] A partir de um modelo desse tipo, poderia ser possível descobrir qual o melhor lugar para se colocar saídas de emergência.
A teoria de probabilidades é extremamente rica e útil, indo muito além dos exemplos dos livros texto de ensino médio. E agora não se esqueça: se for sair para beber, além de não dirigir e se certificar de que é maior de idade, leve uma moeda a mais, ela pode te ajudar a voltar para casa.
Referências:
[1] Hurtado, N. H., & COSTA, J. D. S. (1999). A probabilidade no ensino médio: a importância dos jogos como ferramenta didática. In Anais da Conferência Internacional: Experiências e Perspectivas do Ensino da Estatística–Desafios para o século XXI (pp. 124-136).
[2] Klafter, J., Shlesinger, M. F., & Zumofen, G. (1996). Beyond brownian motion. Physics today, 49(2), 33-39.
[3] Brown, R. (1828). XXVII. A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies. The Philosophical Magazine, 4(21), 161-173.
[4] Salinas, S. R. (1997). Introdução a física estatística vol. 09. Edusp.
[5] Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., & Teugels, J. L. (2009). Stochastic processes for insurance and finance (Vol. 505). John Wiley & Sons.
[6] Viswanathan, G. M., Afanasyev, V., Buldyrev, S. V., Murphy, E. J., Prince, P. A., & Stanley, H. E. (1996). Lévy flight search patterns of wandering albatrosses. Nature, 381(6581), 413-415.
[7] Chandrasekhar, S. (1943). Stochastic problems in physics and astronomy. Reviews of modern physics, 15(1), 1.
[8] Chowdhury, D. E. B. A. S. H. I. S. H., & Chakrabarti, B. K. (1985). Random walk on self-avoiding walk: a model for conductivity of linear polymers. Journal of Physics A: Mathematical and General, 18(7), L377.
[9] Perony, N., Tessone, C. J., Koenig, B., & Schweitzer, F. (2012). How random is social behaviour? Disentangling social complexity through the study of a wild house mouse population. PLoS Comput Biol, 8(11), e1002786.
[10] Kosiński, R., & Grabowski, A. (2010). Langevin equations for modeling evacuation processes.“. Acta Phys. Polon. B” Proc. Supplement, 3, 365-376.
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